誕生日のパラドックス：23人で50%の謎

「何人集まれば、その中に同じ誕生日のペアがいる確率が50%を超えるか？」という問題に対し、直感よりもはるかに少ない人数（23人）で達成される現象を「誕生日のパラドックス」と呼びます。

確率の計算方法

「少なくとも1組のペアが同じ誕生日である確率」を直接計算するのは大変です。そこで、「全員の誕生日がバラバラである確率」を計算し、それを1から引く方法（余事象）を使います。

計算ステップ

1. 1人目：確率は 365/365 (100%)
2. 2人目：1人目と違う日の確率は 364/365
3. 3人目：1,2人目と違う日の確率は 363/365
4. ...
5. $n$人目：それまでの人と違う日の確率は $(365 - n + 1) / 365$

これらをすべて掛け合わせたものが「全員バラバラの確率」です。

$$ P(\text{全員違う}) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \dots \times \frac{365-n+1}{365} $$

最終的な確率は：

$$ P(\text{同じ誕生日がいる}) = 1 - P(\text{全員違う}) $$

なぜ「パラドックス」なのか？

「パラドックス」とは矛盾という意味ですが、この問題は論理的に矛盾しているわけではありません。「直感と大きく異なる」という意味でこう呼ばれています。

自分と同じ誕生日の人を探すなら確率は低いですが、この問題は「誰でもいいからペアができればいい」のです。人数が増えると、ペアの組み合わせの数（${}_nC_2$）が爆発的に増えるため、確率が急上昇します。

人数の目安

人数	同じ誕生日のペアがいる確率
10人	約 11.7%
20人	約 41.1%
23人	約 50.7% (ここで50%超え！)
30人	約 70.6%
50人	約 97.0%
70人	約 99.9%

応用：ハッシュ衝突

この考え方は、コンピュータ科学（暗号理論やハッシュ関数）でも重要です。「バースデー攻撃」と呼ばれる手法は、ハッシュ値の衝突（コリジョン）を見つけるためにこの確率論を利用しています。