行列トレース計算機

対角成分の和 $\text{tr}(A)$ を計算

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行列のトレース (Trace) とは？

行列のトレースとは、正方行列の主対角成分(左上から右下への対角線上の要素)の総和です。記号では $\text{tr}(A)$ または $\text{Tr}(A)$ と表記されます。

$n \times n$ 行列 $A$ のトレースは:

$$\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$$

線形性: $\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)$
スカラー倍: $\text{tr}(kA) = k \cdot \text{tr}(A)$
巡回性: $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$
固有値との関係: $\text{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$ (固有値の総和)
転置: $\text{tr}(A^T) = \text{tr}(A)$

量子力学における期待値の計算、機械学習における勾配計算、統計学における共分散行列の解析など、様々な分野で重要な役割を果たします。