Polar Decomposition Calculator
2x2行列 $A$ を「回転 $U$」と「歪み $P$」に分解する ($A = UP$)。
Input Matrix A
A = U × P
Rotation (U)
| 0 | 0 |
| 0 | 0 |
Unitary / Orthogonal
×
Stretch (P)
| 0 | 0 |
| 0 | 0 |
Positive-semidefinite
極分解 (Polar Decomposition) とは
複素数が $z = re^{i\theta}$ （大きさ $r$ と位相 $\theta$）の積として表せるのと同様に、正則な正方行列 $A$ は、**ユニタリ行列 $U$ （回転）** と **エルミート行列 $P$ （歪み/拡大縮小）** の積 $A = UP$ に分解することができます。これを極分解と呼びます。
行列が意味する幾何学的変換
行列 $A$ による線形変換は、幾何学的には「空間の回転」と「軸に沿った伸縮」の組み合わせとして理解できます。極分解は、この2つの作用を明確に分離する手法です。
- U (Unitary/Rotation): 長さや角度を変えずに、空間全体を回転（あるいは反転）させます。
- P (Positive-semidefinite): 対称行列（実数の場合）であり、主軸に沿って空間を伸縮させます。固有値はすべて非負です。
物理学・力学への応用
連続体力学においては、物体の変形勾配テンソル $F$ を回転成分 $R$ とストレッチ成分 $U$ (右ストレッチテンソル) または $V$ (左ストレッチテンソル) に分解する際 ($F = RU = VR$) に、この極分解が本質的な役割を果たします。これにより、物体が「どれだけ回転したか」と「どれだけ歪んだか」を個別に評価できるのです。
計算のアルゴリズム (2x2)
2x2行列の場合、$P = \sqrt{A^T A}$ として求められます。$A^T A$ は常に対称行列となり、対角化などを通じて平方根行列を計算できます。その後、$U = A P^{-1}$ として回転行列を求めます（$A$が正則の場合）。